Κουίζ αυτοελέγχου

Η \(y'=ky\) έχει λύσεις \(y=Ce^{kx}\). Από \(y(0)=3\) βρίσκουμε \(C=3\).

Χωριζόμενες μεταβλητές: για \(y\neq0\), \(\dfrac{dy}{y}=x\,dx\Rightarrow\ln|y|=\dfrac{x^{2}}{2}+c\), άρα \(y=Ce^{x^{2}/2}\) με \(C\neq0\). Η σταθερή λύση \(y=0\), που χάνεται στη διαίρεση, αντιστοιχεί στο \(C=0\).

Η \(P=M\) (φέρουσα ικανότητα) είναι ευσταθής ισορροπία.

Με \(f(y)=y-y^{2}\) είναι \(f'(1)=1-2=-1<0\): τα βέλη της γραμμής φάσης δείχνουν προς το \(1\).

Χαρακτηριστική εξίσωση \(r^{2}+4=0\Rightarrow r=\pm2i\): μιγαδικές ρίζες, άρα ημίτονα και συνημίτονα με \(\omega=2\).

\(y_{1}=y_{0}+h\,f(x_{0},y_{0})=1+0{,}5\cdot1=1{,}5\). Η ακριβής τιμή είναι \(e^{0{,}5}\approx1{,}65\).

Η τάξη είναι η τάξη της μεγαλύτερης παραγώγου που εμφανίζεται, εδώ της \(y''\).

Για \(y=e^{-x}\) είναι \(y'=-e^{-x}=-y\). Ελέγχουμε πάντα μια υποψήφια λύση με αντικατάσταση στην εξίσωση.

Με ολοκλήρωση \(y=x^{3}+c\), και από \(y(0)=1\) βρίσκουμε \(c=1\).

Χαρακτηριστική εξίσωση \(r^{2}-3r+2=0\), με ρίζες \(r=1\) και \(r=2\).

Οι τιμές ισορροπίας είναι οι ρίζες του δεξιού μέλους: \(y^{2}-4=0\Rightarrow y=\pm2\).

Η κλίση στο \((x,y)\) είναι η τιμή του δεξιού μέλους: \(2-1=1\).

Ολοκληρώνοντας, \(y=x^{2}+x+c\). Από την \(y(0)=10\) παίρνουμε \(c=10\).

Η λύση της λογιστικής εξίσωσης είναι \(P(t)=\dfrac{M}{1+ce^{-rt}}\) με \(c=\dfrac{M-P_{0}}{P_{0}}=\dfrac{400-50}{50}=7\). Έλεγχος: \(P(0)=\dfrac{400}{8}=50\) και \(P(t)\to400\).