Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.

Ερώτηση 1

Οι ιδιοτιμές του πίνακα \(\begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix}\) είναι:

Σε διαγώνιο πίνακα οι ιδιοτιμές είναι τα στοιχεία της διαγωνίου.

Ερώτηση 2

Για τον \(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\), το \(\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\) είναι ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή:

\(A\mathbf{u}=\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}=3\mathbf{u}\), άρα \(\lambda=3\).

Ερώτηση 3

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός τετραγωνικού πίνακα \(A\) είναι το:

Οι ιδιοτιμές είναι οι ρίζες της εξίσωσης \(\det(A-\lambda I)=0\). Το \(A-\lambda I\) είναι πίνακας, όχι πολυώνυμο.

Ερώτηση 4

Οι ιδιοτιμές του πίνακα \(\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix}\) είναι:

\(\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)(3-\lambda)-2=\lambda^{2}-7\lambda+10=(\lambda-2)(\lambda-5)\).

Ερώτηση 5

Αν το \(\mathbf{u}\) είναι ιδιοδιάνυσμα του \(A\) με ιδιοτιμή \(\lambda\), τότε το \(3\mathbf{u}\) είναι:

\(A(3\mathbf{u})=3A\mathbf{u}=3\lambda\mathbf{u}=\lambda(3\mathbf{u})\). Κάθε μη μηδενικό πολλαπλάσιο ιδιοδιανύσματος είναι ιδιοδιάνυσμα με την ίδια ιδιοτιμή.

Ερώτηση 6

Ένας τετραγωνικός πίνακας \(A\) έχει ιδιοτιμή το 0 ακριβώς όταν:

Το 0 είναι ιδιοτιμή όταν \(\det(A-0\cdot I)=\det A=0\), δηλαδή όταν ο \(A\) δεν αντιστρέφεται.

Ερώτηση 7

Οι ιδιοτιμές του άνω τριγωνικού πίνακα \(\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}\) είναι:

\(\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(2-\lambda)\). Σε έναν τριγωνικό πίνακα οι ιδιοτιμές είναι τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου.

Ερώτηση 8

Αν ο \(A\) διαγωνοποιείται, δηλαδή \(A=PDP^{-1}\) με \(D\) διαγώνιο, τότε στη διαγώνιο του \(D\) βρίσκονται:

Οι στήλες του \(P\) είναι ιδιοδιανύσματα του \(A\) και τα διαγώνια στοιχεία του \(D\) οι αντίστοιχες ιδιοτιμές.

Μηδενίζει όλες τις απαντήσεις αυτού του κουίζ. Οι απαντήσεις δεν αποθηκεύονται πουθενά.

← Κουίζ 12.2 Κεφάλαιο 12 →