Η έννοια της παραγώγου και οι εφαρμογές της

Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.

Ερώτηση 1

\((x^{3})'=\)

\((x^{n})'=nx^{n-1}\).

Ερώτηση 2

\((\sin 2x)'=\)

Κανόνας αλυσίδας: \(\cos(2x)\cdot(2x)'=2\cos2x\).

Ερώτηση 3

Η παράγωγος, \(f'(x)\), της συνάρτησης \(f(x)=xe^{x}\) είναι:

Κανόνας γινομένου: \((x)'e^{x}+x(e^{x})'=e^{x}+xe^{x}\).

Ερώτηση 4

Η εφαπτομένη της \(y=x^{2}\) στο σημείο με \(x=1\) είναι:

\(f(1)=1\), \(f'(1)=2\), άρα \(y-1=2(x-1)\).

Ερώτηση 5

Με τη γραμμικοποίηση της \(\sqrt{x}\) στο \(a=4\), η \(\sqrt{4{,}1}\) είναι περίπου:

\(L(x)=2+\dfrac{1}{4}(x-4)\), άρα \(L(4{,}1)=2+\dfrac{0{,}1}{4}=2{,}025\).

Ερώτηση 6

Για τον κύκλο \(x^{2}+y^{2}=25\), η \(y'\) στο σημείο \((3,4)\) είναι:

Πεπλεγμένη παραγώγιση: \(2x+2yy'=0\Rightarrow y'=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac34\).

Ερώτηση 7

\((\ln x)'=\)

Για \(x>0\) είναι \((\ln x)'=\dfrac1x\).

Ερώτηση 8

\(\left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\)

Κανόνας πηλίκου: \(\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\).

Ερώτηση 9

\(\left(e^{3x}\right)'=\)

Κανόνας αλυσίδας: \(e^{3x}\cdot(3x)'=3e^{3x}\).

Ερώτηση 10

Γεωμετρικά, η \(f'(x_{0})\) είναι:

Η παράγωγος στο \(x_{0}\) είναι το όριο των κλίσεων των τεμνουσών, δηλαδή η κλίση της εφαπτομένης.

Ερώτηση 11

Η θέση ενός σώματος είναι \(s(t)=t^{2}+3t\) (σε m, με \(t\) σε s). Η ταχύτητά του τη στιγμή \(t=2\) είναι:

\(v(t)=s'(t)=2t+3\), άρα \(v(2)=7\) m/s. Το \(10\) είναι η θέση \(s(2)\).

Ερώτηση 12

Η συνάρτηση \(f(x)=|x|\) στο \(x_{0}=0\):

Οι πλευρικές παράγωγοι στο \(0\) είναι \(-1\) και \(1\). Η γραφική παράσταση έχει γωνία, άρα δεν υπάρχει εφαπτομένη.

Μηδενίζει όλες τις απαντήσεις αυτού του κουίζ. Οι απαντήσεις δεν αποθηκεύονται πουθενά.