Εξάσκηση στους κανόνες παραγώγισης

Η παράγωγος κάθε σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν.

\(\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}\). Το \(\dfrac{x^{6}}{6}\) είναι παράγουσα, όχι παράγωγος.

Η σταθερά μένει μπροστά: \(3\cdot2x=6x\).

Παραγωγίζουμε κάθε όρο χωριστά. Η παράγωγος της σταθεράς είναι μηδέν.

\(\sqrt{x}=x^{1/2}\), άρα η παράγωγος είναι \(\dfrac12x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).

Για \(x\neq0\), \(\dfrac1x=x^{-1}\), άρα η παράγωγος είναι \(-x^{-2}\). Σε κάθε διάστημα που δεν περιέχει το 0, παράγουσα της \(\dfrac1x\) είναι η \(\ln|x|\). Για \(x>0\) αυτή γράφεται \(\ln x\).

Η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο.

Η παράγωγος του συνημιτόνου είναι το αντίθετο του ημιτόνου.

Η \(e^{x}\) είναι η παράγωγος του εαυτού της. Ο κανόνας \(nx^{n-1}\) ισχύει όταν η μεταβλητή είναι στη βάση, όχι στον εκθέτη.

Οι σταθερές μένουν μπροστά και παραγωγίζουμε κάθε όρο χωριστά.

Κανόνας γινομένου: \((fg)'=f'g+fg'\). Η παράγωγος γινομένου δεν είναι το γινόμενο των παραγώγων.

Κανόνας αλυσίδας: παραγωγίζουμε το συνημίτονο και πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του \(3x\).

Κανόνας αλυσίδας: \(3(2x+1)^{2}\cdot(2x+1)'=3(2x+1)^{2}\cdot2\).

Κανόνας αλυσίδας: \(e^{x^{2}}\cdot\left(x^{2}\right)'=2xe^{x^{2}}\).

Κανόνας αλυσίδας: \(\dfrac{1}{x^{2}+1}\cdot\left(x^{2}+1\right)'\).

Κανόνας αλυσίδας: \(\dfrac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\).

Κανόνας αλυσίδας: \(2\sin x\cdot(\sin x)'\). Το αποτέλεσμα γράφεται και \(\sin 2x\).

Κανόνας γινομένου: \((x)'\sin x+x(\sin x)'\).

Κανόνας γινομένου: \(1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1\).

Κανόνας αλυσίδας: \(\dfrac{1}{3x}\cdot3=\dfrac1x\). Αλλιώς: \(\ln(3x)=\ln3+\ln x\), και η σταθερά \(\ln3\) έχει παράγωγο μηδέν.

\(3\cdot\dfrac{1}{2x}\cdot2=\dfrac{3}{x}\).

Κανόνας αλυσίδας: \(3\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot2=\dfrac{3}{\sqrt{2x}}\).